Toen ik moe was van het zoeken, leerde ik vinden. Friedrich Nietzsche
How to Solve It
In 1945 verscheen de eerste druk van How to Solve It. Een halve eeuw later vond ik geheel toevallig, in een antiquariaat in mijn geboortestad, het exemplaar dat hiernaast is afgebeeld; van Pólya, had ik toen nog nooit gehoord, geloof ik.
Georg Pólya was een van oorsprong Hongaars wiskundige die zich met verschillende takken van de wiskunde bezig hield, van getaltheorie tot functietheorie, van groepentheorie tot waarschijnlijkheidsrekening, van meetkunde tot combinatoriek. Ook voelde hij zich aangetrokken tot filosofie en literatuur. Escher raadpleegde Pólya over symmetriegroepen en raakte mede daardoor geïnspireerd tot zijn werk met periodieke betegelingen. Pólya doceerde van 1914 tot 1940 in Zurich en vervolgens tot 1953 aan Stanford University. Hij bleef tot zijn negentigste lezingen geven en overleed op 97 jarige leeftijd in Palo Alto.
Toen men hem vroeg welke wiskundige hem het meest beïnvloed had, was het antwoord: Euler. ‘Euler deed iets wat geen enkele wiskundige van zijn statuur deed. Hij verklaarde hoe hij zijn resultaten vond.’
Pólya was zeer geïnteresseerd in wiskundedidactiek en pedagogiek. In een lezing voor leraren aan basisscholen verklaarde hij: ‘Wij hebben echter een hoger doel. We willen alle bronnen van het opgroeiende kind ontwikkelen. En de rol die wiskunde daarbij speelt is voornamelijk het denken. Wiskunde is een goede denkschool. (…) Wiskunde is geen toeschouwersport. Wiskunde begrijpen is in staat zijn wiskunde te bedrijven. En wat betekent het om wiskunde te bedrijven? In de eerste plaats in staat zijn problemen op te lossen.’
How to Solve It werd vertaald in vele talen en er werden vele exemplaren van verkocht; het wordt nog steeds herdrukt. Het is geschreven in heldere taal; de charme ervan is de eenvoud. Het bestaat uit enkele delen: In the Classroom, How to Solve It, en Short Dictionary of Heuristic. In de tweede editie werd daar nog een vierde deel aan toegevoegd: Problems, Hints, Solutions. Het grootste deel wordt gevormd door het woordenboekje van de heuristiek. Daarin geeft hij ook een definitie van heuristiek:
‘Heuristic, or heuretic, or ‘ars inveniendi’ was the name of a certain branch of study, not very clearly circumscribed, belonging to logic, or to philosophy, or to psychology, often outlined, seldom presented in detail, and as good as forgotten today. The aim of heuristic is to study the methods and rules of discovery and invention.’
Heuristieken
Als er voor een probleem geen algoritme bekend is moeten er andere wegen worden gezocht. Een heuristische methode is een methode om iets te vinden. Zo’n methode bestaat uit een samenhangende structuur van heuristieken: strategische aanwijzingen om stappen te zetten in de richting van de oplossing.
Daarbij moeten er keuzes en beslissingen gemaakt worden. Misschien moet er een andere invalshoek worden gezocht. Heuristieken zijn vuistregels – vuistregels die nog niet garanderen dat een oplossing gevonden wordt. Deze vuistregels voorkomen een onsystematische exploratie en beperken het aantal wegen in een systematische exploratie (als die al mogelijk is). Bij een knooppunt van wegen kiest men, volgens een heuristische methode te werk gaand, de wegen die het meest waarschijnlijk tot het doel leiden.
Pólya heeft als eerste heuristieken op de agenda gezet. Het doel van de heuristiek, aldus Pólya, is het bestuderen van methoden en regels voor ontdekking en uitvinding. Heuristisch redeneren is daarbij provisorisch, plausibel en niet beslissend, definitief of strikt. Het is vaak gebaseerd op analogie of inductie. Moderne heuristiek, aldus Pólya, probeert het proces van probleemoplossen te begrijpen, in het bijzonder de mentale operaties die nuttig zijn in dat proces.
Ook de psychologische en didactische kanten komen aan bod.
‘As good as forgotten today’… Intussen zijn de tijden veranderd,- niet in de laatste plaats door How to Solve It. Over heuristieken en problem solving is heel wat gepubliceerd. Vanuit een didactische context maar ook in bijvoorbeeld de cognitiewetenschap wordt er aandacht aan besteed.
Men vraagt zich onwillekeurig af of How To Solve It als boek een niet helemaal afgerond project is. Misschien wilde Pólya een gestructureerd boek schrijven, maakte aantekeningen (het woordenboek) maar slaagde er niet in het tot een eenheid te verwerken; toen heeft hij er maar een woordenboekje van gemaakt, dat eigenlijk een lijst begrippen en methoden e.d. is met interne verwijzingen. Zelf kondigt hij in de inleiding in 1944 aan: “The subject is more fully dealt with in a more extensive book by the author which is on the way to completion.” Er zouden inderdaad nog een aantal boeken volgen: Mathematics and Plausible Reasoning (twee delen) en Mathematical Discovery (ook twee delen).
Er zijn heel wat bezwaren tegen How to Solve It en Pólya’s aanpak ingebracht: De werkwijze van ‘echte’ wiskundigen zou heel anders zijn, studenten zouden er niets van kunnen leren. Wetenschappelijk zou het geen waarde hebben: er valt niets te kwantificeren, Pólya’s strategieën zijn niet geoperationaliseerd of te operationaliseren, het belang van conceptuele kennis ontbreekt.
Pólya beschouwde problem solving echter als een praktische kunst, net als didactiek. Hij wilde de wiskunde-in-ontwikkeling demonstreren.
Lees hier verder.