Gegeven zijn twee cirkels met gelijke straal die elkaar snijden in A en B. De lijn l gaat door A en snijdt de cirkels in P en Q. Bewijs dat de driehoek BPQ gelijkbenig is.
We proberen Polya’s aanpak uit.
Het probleem begrijpen
• Wat is de stelling? Wat is de hypothese?
Twee cirkels, gelijke straal, lijn door een snijpunt van de cirkels, snijdt beide cirkels, de een ook nog in een ander punt.
• Wat is de conclusie?
Dat de driehoek PBQ gelijkbenig is. Wat is gelijkbenig? Twee zijden moeten gelijk zijn, dezelfde lengte hebben. Het is niet meteen duidelijk wélke zijden gelijk moeten zijn.
• Wat zijn de voorwaarden?
De cirkels hebben een gelijke straal, de cirkels snijden en lijn l snijdt de cirkels in P, Q en A. Een deel van de notatie ligt hierdoor al vast. We noteren de middelpunten van de cirkels als M en N; de ene cirkel noemen we Cm, de andere Cn. We maken de cirkels zó dat de middelpunten in het overlappende gebied liggen,- maar dat is geen voorwaarde. Dat zouden we dus kunnen wijzigen. Lijn l loopt tussen de middelpunten,- dat is óók geen voorwaarde. Als het nodig is of handig lijkt, maken we een nieuw plaatje waarbij de de laatste twee niet-voorwaarden eventueel kunnen wijzigen of variëren.
Een plan ontwerpen
We moeten bewijzen dat driehoek PQB gelijkbenig is. We proberen eerst uit te zoeken welke zijden gelijk zijn. Een visuele inspectie leert ons dat we zouden kunnen proberen te bewijzen dat de zijden PB en QB gelijk zijn. Hoe? Kennen we gerelateerde stellingen? Ja, we kennen diverse problemen die hier op lijken. Bijvoorbeeld: twee driehoeken vinden waarvan PB, respectievelijk QB, zijden zijn en te laten zien dat die congruent zijn. Dat is een bekende heuristiek. We moeten daarvoor op zoek naar de twee bewuste driehoeken. Die zijn er in eerste instantie niet. We hebben driehoeken en dus hoekpunten nodig. Hulpmiddelen. We proberen eventueel extra punten te introduceren, zo economisch mogelijk natuurlijk. Als we die driehoeken hebben, hebben we de strategie.
Plan uitvoeren
We proberen te bewijzen dat de zijden PB en QB gelijk zijn door twee driehoeken te vinden waarvan PB, respectievelijk QB, zijden zijn en te laten zien dat die congruent zijn. We moeten op zoek naar de twee bewuste driehoeken. We hebben driehoeken en hoekpunten nodig. Punten die daarvoor in aanmerking komen zijn, naast uiteraard P, Q en B: M, N, en A. Andere punten hebben we in eerste instantie niet. We tekenen, met de punten die we hebben, wat driehoeken waarvan PB een zijde is: PBM en PBA; beide op de cirkel Cm. We tekenen ook driehoek PBN, die ligt niet in zijn geheel op cirkel Cm. We tekenen ook alle driehoeken waar QB een zijde van is: QBM, QBN, QBA.
We hebben een aantal driehoeken getekend. Zien we al twee driehoeken die in aanmerking komen? PBM en QBN lijken congruent, daarmee gaan we het proberen.
Weten we al iets van die driehoeken? We zien dat sommige zijden gevormd worden door stralen van de cirkels. Die zijn allemaal gelijk, want de cirkels waren even groot. Dat geven we aan – een nuttige aanvullende notatie. We constateren: de andere zijden van die twee driehoeken zijn al gelijk. We proberen te bewijzen dat de hoek tussen die zijden bij de twee driehoeken gelijk is, dan zijn de driehoeken congruent op grond van ZHZ. We realiseren ons dat het beide middelpuntshoeken zijn, dus we gaan de stelling van de omtrekshoek proberen te gebruiken, die zegt dat de middelpuntshoek het dubbele is van een bijbehorende omtrekshoek.
We zien dat beide hoeken een middelpuntshoek zijn (van Cm respectievelijk Cn) zijn bij hoek PAB. We halen alle overbodige lijnstukken weg en we concluderen op grond van ZHZ dat de driehoeken PMB en QNB congruent zijn. En dus zijn PB en QB gelijk.
Terugkijken
Ons plan uitvoeren hebben we nu gedaan, elke stap moet nog precies gecontroleerd en bewezen worden. We hebben de cirkels gebruikt, de gegevens, alles was nodig. We schrijven het bewijs nog precies op. Dat is meteen de controle.
We moeten ons nu nog afvragen of dit bewijs geldig blijft als we wat zaken variëren. Wat gebeurt er als we M en N buiten het overlappende gebied van de cirkels laten vallen? Op de rand van dat gebied? Als we lijn l een geheel andere positie geven?
Hebben we alle voorwaarden gebruikt? Kunnen we het resultaat nog anders bewijzen? Wat hebben we gedaan? Wat hebben we gebruikt? We kunnen proberen of het nog korter kan, indachtig Ockhams scheermes.
Geldt de stelling ook als de stralen niet even groot zijn? Wat is de essentie van het bewijs? Kunnen we de opgave anders formuleren? We kunnen ook wat andere zaken bedenken die we zouden kunnen gebruiken. Bovendien kunnen we op zoek gaan naar alternatieve bewijzen. Die zijn wel te vinden – sommige zijn fraaier dan het gegeven bewijs – maar we presenteren ze hier niet.
Polya biedt in How to Solve It een globale structuur om problemen als deze aan te pakken. Deze structuur – probleem begrijpen, plan ontwerpen, plan uitvoeren, terugkijken – creëert een model waarmee de problemen benaderd kunnen worden. Garanties worden daarbij niet gegeven, maar het model is toch nuttig. Heuristische methoden wérken. Waarom? De structuur, de suggesties en de vragen brengen een intellectuele mobilisatie op gang die voorkomt dat de probleemaanpakker passief naar het probleem blijft zitten staren.
Wie zoekt zal vinden
‘Wie zoekt, zal vinden,’ zei mijn moeder vaak tegen mij toen ik nog een jongetje was; deze optimistische uitspraak schreef ze daarbij toe aan de heilige Franciscus van Assisi maar hij is terug te vinden in Matteüs:
‘Bidt en u zal gegeven worden; zoekt en gij zult vinden; klopt en u zal opengedaan worden. Want een ieder, die bidt, ontvangt, en wie zoekt, vindt, en wie klopt, hem zal opengedaan worden.’ (Matteüs 7:7,8 NBG).
Bidden dat problemen opgelost worden lijkt de juiste aanpak niet, op de deur kloppen is ook hulpeloos passief, maar de kern van deze drievoudige belofte levert een positief perspectief: actief zoeken helpt.
