Dagboek Kroatië 1

vrijdag 30 augustus

Spontaan handelen in reactie op de vrije vlucht van de verbeelding behoort tot de aangename aspecten van het leven. En daarna verschijnen vanzelf nuttige of noodzakelijke plannen om het handelen richting te geven en te ondersteunen. En ook dat is aangenaam.

Waarom Kroatië? Omdat ik houd van het Zuiden, de zee, de kust. Dalmatië dus. Ik heb het voor het uitkiezen. In mei nog in Napels geweest, aan de kust van Campanië (Campania Felix!), wil ik niet meteen opnieuw naar Italië. De oostkust van de Adriatische zee dan. Dubrovnik stel ik me voor. Waarom? Middellandse zee, aan de kust, beschrijvingen klinken wel aardig. Mooie oude stad… Werelderfgoed. Magere motivatie die, zo houd ik mijzelf voor, de spontaniteit glans geeft.

Eenvoudig een directe vlucht naar Dubrovnik vinden lukt niet. Dan maar wat aanpassingen – Split is het aangewezen vliegdoel. Trogir ligt dichter bij het vliegveld, lovende woorden over gelezen op internet, geen zin om ver te slepen met mijn ene tas… En van al die aanlokkelijke eilanden wil ik er toch ook wel een bezoeken.

Op internet is natuurlijk alles te vinden: bootverbindingen, busverbindingen, hotels, beschrijvingen van Kroatië, Dalmatië, eilanden, steden. Treinen rijden er niet in dit deel van Kroatië. Ondanks alle internetinformatie, schaf ik toch een reisgids aan, want ik vind het aardig om iets tastbaars te hebben. Ik blader er wat in, lees hier en daar een alinea en bekijk Dalmatië min of meer globaal. Reisplan voor tien dagen in elkaar geflanst, enkele hotels vooruit geboekt. De rest bedenken we onderweg wel.K1 Midden en Zuid Dalmatie

Een Formaliteit (2/5)

F2Het bleef hem niet lang bezighouden: het onverwachte en schijnbaar autonome optreden van zijn emoties zonder waarneembare aanleiding. Thuisgekomen, was het eerste wat hij deed zijn koffer uitpakken. Een aantekenboekje, een document dat betrekking had op een bedrijf waar hij binnenkort voor enkele weken gede­tacheerd zou worden en een handboek over het nieuwe te gebruiken software-platform, rangschikte hij op zijn bureaublad. Hij bladerde even in de bedrijfsprospectus. AIA-SOFT profileert zich als een innovatief softwarehouse en richt zich op het realiseren van front-office oplossingen. Onze missie is: zorgen voor klantspeci­fieke automatiseringsoplossingen die direct het resultaat van de opdrachtgever verhogen.’

Hij knoopte zijn stropdas los en vroeg zich af waarom hij bij een softwarehouse gedetacheerd zou worden. Roodenburg, zijn chef, had tijdens de borrel gezegd dat er maandagochtend een overleg zou zijn waarbij alles uitgelegd zou worden: het was allemaal wat snel en onverwacht gelopen. ‘Ik heb buitengewoon spannende berichten.’ Dankaart ergerde zich. Roodenburg deed geheimzinnig in een misera­bele poging zijn gebrek aan uitstraling te verdoezelen. Hij mocht zijn chef niet. Hij had het idee dat hij hem al te duidelijk doorzag: de man probeerde de veilige formele structuur van het leidinggeven te gebruiken om zijn gebrek aan persoonlijke overtui­gingskracht te verbergen. Wat dat betreft was detachering altijd prettig: het zou hem min of meer verlossen van Roodenburg. Maar de raadselachtige plaatsing bij een softwarehouse beviel hem niet. Toch was hij nieuwsgierig naar wat Roodenburg maandagochtend te vertellen zou hebben.

Hij hing zijn stropdas in het rekje aan de binnenkant van een kastdeur, trok zijn schoenen uit en knoopte de kraag van zijn overhemd los. Het vertrouwde ritueel bezorgde hem prettige gevoe­lens; hij voelde de ontspanning terugkeren. Uit de koelkast haalde hij de ’s ochtends klaargezette diepvriesmaaltijd te voorschijn en zette die in de magnetron. Zorgvuldig sloot hij het deurtje en programmeerde de klok. Hij opende opnieuw de koelkast en pakte een fles bier. Languit liggend in de stoel bij de muzie­kinstallatie zette hij de cd-speler aan. Vivaldi. Hij dronk bier uit de fles en vroeg zich af of hij Loeki eerst nog zou bellen om de afspraak te bevestigen. Het was hoogst onwaarschijnlijk dat ze het vergeten was; maar hij nam toch de telefoon en drukte op een van de geheugentoetsen. Ze was in gesprek. De magnetron liet een schel zoemgeluid horen en hij legde de hoorn weer op de haak.

Spaghetti om zijn vork wikkelend, af en toe een slok bier drinkend, luisterde hij met een half oor naar de muziek. De onrustgevoelens waren verdwenen; het was hem niet duidelijk hoe precies en dat was op zich verontrustend. Hij had nog nooit zoiets meegemaakt. Misschien had hij tijdens de borrel iets verkeerds ge­ge­ten? Een kleine voedselvergiftiging ten gevolge van de talloze hapjes die waren aangeboden en waarvan hij er enkele gedachteloos had aangenomen… Hij had niet meer gedronken dan anders. Misschien was het ook de drukte in de tram, hoewel hij daaraan gewend was. Hij was uitgestapt, onmiddellijk; misschien had hij moeten blijven zitten en was de paniek dan vanzelf verdwenen. Of kwam het toch door de aankondiging van zijn detachering bij AIA-SOFT, een detachering die even onverwacht als raadselachtig was? Hij hield niet van verrassingen; en zeker niet als het Roodenburg was die ze aankondigde. Ongetwijfeld had Roodenburg het opzettelijk gedaan: de prikkelende suggestie van de verhulde aankondiging. Roodenburg was in zekere zin iemand als hijzelf; des te beter doorzag hij hem. Het moest hem duidelijk zijn dat derge­lijke verrassingen door zijn werknemers niet gewaardeerd zouden worden. Het was normaal dat detacheringen al maanden van tevoren bekend waren. Geïrriteerd stond hij op en zette het half leeggege­ten bord spaghetti op het aanrecht. Hij zette koffie en probeerde opnieuw Loeki te bellen; maar het nummer was nog altijd in ge­sprek. Hij zou het vanavond aan haar vertellen: op die manier kwam hij tegemoet aan haar herhaalde verzoek eens wat persoonlijker te worden in zijn gesprekken. Een typisch vrouwelijke benadering.

Nadat hij haastig zijn koffie had opgedronken besloot hij te vertrekken: hij zou vast alleen wat drinken aan de bar van het Grand-café; Loeki zou de afspraak niet vergeten zijn en de stilte op zijn kamer, benadrukt door de muziek, benauwde hem.

Dankaart beschouwde zichzelf als een tamelijk ongecompliceerde persoonlijkheid – wat een positief oordeel inhield. Hij had altijd duidelijke plannen gemaakt wat betreft de te realiseren doelen in zijn bestaan, de zaken die hij wilde bereiken, de manier waarop hij wilde leven; en in grote lijnen was alles altijd gelukt. Niets ergerde hem meer dan de subtiele en genuanceerde emotionele problemen waar Loeki zo graag over uitweidde: ze schenen hem gezocht en zinloos toe. Soms voelde hij zich op een verraderlijke manier in conversatievalstrikken gelokt. Je maakte een plan en handelde daar naar. Natuurlijk bestonden er emotionele behoeften: die waren een gegeven, net als de feitelijke alledaagse realiteit waarmee je onophoudelijk in aanraking kwam. Je accepteerde dat en maakte er gebruik van; of je probeerde tenminste de gevoelens in zekere banen te leiden. Emoties…Voor zover geen lastig en min of meer rudimentair ver­schijnsel, probeerde je ze te gebruiken als energiebron; een vervoermiddel om de plaats van bestemming te bereiken, een span wilde paarden dat je in toom moest houden. Hij was een rationeel persoon, iemand voor wie het intellect fundamenteel en primair was.

Hij kwam binnen in een nagenoeg lege bar en zocht een plaatsje aan een tafeltje voor het raam. Bij de barman die kwam aandrentelen bestelde hij een koffie, bedacht zich toen en verzocht om een glas bier. Koffie… had de cafeïne daarin geen stimulerend effect dat kon leiden tot hartkloppingen? Hij schoof onrustig met zijn voeten heen en weer en probeerde zichzelf te dwingen na te denken over wat er gebeurd was. Was de paniek die hem overvallen had een extreme vorm van angst? Of was het toch iets zuiver lichamelijks geweest? Hij moest erkennen dat hij de controle totaal verloren was: hij was te vroeg uitgestapt, zijn hart klopte te snel, hij transpireerde en haalde te snel adem. Het was onaangenaam, buiten­gewoon onaangenaam, dat hij de controle over zichzelf verloren was. Hoe kan dat zomaar gebeuren? Hij probeerde na te gaan waaraan hij had zitten denken op het moment dat het hem overvallen had. Hij had zich voorgesteld hoe hij met Loeki de avond zou doorbrengen, zoveel wist hij nog. Dat kon geen reden zijn geweest voor angst: het was een bekend iets, een tamelijk voorspelbare reeks gebeurtenissen waarop hij zich meestal verheugde. Had hij aan de detachering zitten denken? Hij meende van niet; zodra Roodenburg het hem verteld had, was hij weliswaar onaangenaam getroffen geweest maar hij had het onmiddellijk van zich af gezet en besloten in het weekeinde zijn papieren door te nemen om maandagochtend met enige gerichte kritische vragen te komen. Was het mogelijk dat hij daar onbewust mee bezig was geweest? Dat was geen denken, dat was dan een soort stemming, iets wat ergens vaag rondzweefde, op de achtergrond,- kon zoiets invloed uitoefenen? Hij geloofde er niet in. Emoties waren een reactie op gebeurtenis­sen of gedachten; en er was niets gebeurd en hij had nergens aan zitten denken. Wat was nu onbewust? Een fictief model van verouderde psychologen – niet iets dat werkelijk bestond. Hij nam een slok bier en maakte een onwillekeurig beweging met zijn schouders. Hij keek op zijn horloge. Het was kwart over acht.

De deur ging open en er kwam een groepje mensen binnen, lawaai­ig, met veel gelach en gepraat. Ze namen plaats aan de tafel naast hem; er werd met stoelen geschoven, er werd geroepen om bier en een vrouw trok de stoel naast hem weg, zonder hem aan te kijken. Hij ergerde zich en besloot dat het tijd was om te vertrekken. Hij dronk zijn glas leeg en verliet het café. Misschien was Loeki er al. Hij wandelde langzaam langs de gracht en probeerde aan niets te denken.

Een Formaliteit (1/5)

Hoewel ik ooit informatica studeerde, in Nijmegen, in de jaren ’80, is het de geroutineerde lezer natuurlijk bekend dat hoofdpersonen in de literatuur niet op naïeve en onbezonnen wijze met abstracte vertellers geïdentificeerd mogen worden, – laat staan met de schrijver. De overeenkomsten tussen de heer Dankaart en mijzelf zijn beperkt – wat niet wegneemt dat de kern van het verhaal (voor zover die eenduidig vastgesteld kan worden) mij na aan het hart ligt. Hetzelfde geldt voor Thomas Dankaart, in al zijn onzekerheid en rigiditeit op weg naar een onbekende bestemming waarvan de invulling hem nog grotendeels vrij staat, hoewel zijn primaire verbanning dwingend opgelegd wordt. Of zou die verbanning toch indirect volgen uit de misschien wel fatale opbouw van zijn karakter?

F1In het afgelopen voorjaar werd bij Infologos, een dynamisch en veelbelovend maar nog jong automatise­ringsbedrijf, gevestigd te Amsterdam, ergens aan een van de grachten, onverwacht en op staande voet een medewerker ontslagen die pas enkele maanden in dienst was. Het is de vraag of Thomas Dankaart, de uitge­rangeerde informaticus, had kunnen en misschien zelfs had moeten weten dat er, op ondoor­zichtige wijze weliswaar, onder de oppervlakte van de waarneembare dagelijkse gang van zaken in het bedrijf allerlei processen gaande waren die leidden tot deze voor hem onaangename confrontatie. Het is al evenzeer een open vraag of het in de eerste plaats deze verborgen processen waren die een afdoende causale verklaring waarborgen. Een feit is, dat Thomas Dankaart volkomen verrast werd door de onver­wachte manoeuvre van de bedrijfsleiding. De gevolgen voor deze ambitieuze en optimistische man waren tamelijk ingrijpend.

Natuurlijk was er, zoals altijd, al geruime tijd het een en ander gaande; en als hij niet de gewoonte had gekoesterd, zelfs in situaties waarin hij met directe conflicten in zijn privéleven werd geconfron­teerd, zijn denken altijd te richten op abstracte zaken, van niet-emotionele en onpersoonlijke aard, dan was hij in ieder geval beter voorbereid geweest. Misschien hadden de gebeurtenissen dan zelfs een heel andere loop genomen; misschien was van de door hem onbewust veronder­stelde noodlottigheid geen sprake. Maar zelfs toen hij, letterlijk en figuurlijk, op straat stond, verzuimde hij een analyse achteraf te maken: de hevigheid van zijn emoties, die niet in de laatste plaats werd veroorzaakt door de consequente en onbewuste onder­drukking ervan in de vooraf­gaande periode, leidde tot een snelle en fatale uitbarsting waarin voor intellectueel onderzoek geen ruimte meer was.

Zijn korte carrière was voorspoedig verlopen. Enkele maan­den voor zijn afstuderen was hij aangenomen bij een groot telecommunicatiebedrijf waar hij met succes diverse aanvullen­de cursussen gevolgd had. Gedurende drie maanden reisde hij als trainee door het land, in het gezelschap van een van zijn oudere collega’s, wiens ervaring zich toonde in een tamelijk ostentatieve nonchalance bij het afwerken van gecompliceerde opdrachten. Samen voltooiden ze verschillende projecten met succes. Hij ging met zijn collega’s, een tiental mannen en vrouwen, in de Ardennen op survivaltocht en liet zich daar kennen als een communicatief ingestelde man, in het bezit van het gewenste doorzet­tingsvermogen en de vereiste ondernemings­lust. Hij had het idee dat hij voor alle tests geslaagd was; of ze nu wel of niet als zodanig bedoeld waren. Dankaart werd, kortom, in alle opzichten gewaardeerd: zowel door zijn colle­ga’s, die zich prettig voelden bij de ontspannen manier waarop het contact met hem scheen te verlopen als door de bedrijfslei­ding die in hem een snelle en zelfstandige leerling zagen voor wie een behoorlijke toekomst in het bedrijf scheen weggelegd. Toch was niemand verbaasd toen hij, bij het tweede functione­ringsgesprek, dat aan het eind van het jaar plaatsvond, ken­baar maakte dat hij zich weliswaar prettig voelde bij het bedrijf, maar desondanks ontslag vroeg: om de acceptabele reden dat hij ernaar verlangde zijn eigen bedrijf te beginnen. ‘Zoiets hadden we wel verwacht,’ ver­klaarde de personeelschef. ‘Alleen nog niet op zo’n korte termijn. We wensen je in ieder geval veel succes.’

Voorzien van een lovende aanbevelingsbrief solliciteerde hij bij Infologos. Hij werd onmiddellijk aangenomen; hier wilde hij zich voorlopig verder ontwikkelen als specialist in een groot netwerksysteem dat bij enige duizenden bedrijven in het land gebruikt werd. Het moest de laatste stap vormen op weg naar zijn eigen bedrijf. In de avonduren volgde hij op kosten van zijn werkgever een schrif­telijke informatie-management­cursus; en wanneer hij ’s avonds in de woonkamer van zijn apparte­ment, aan zijn bureau voor het raam, met doelbewuste en min of meer nietsontziende inzet de lessen bestudeerde, dan kwam van tijd tot tijd de gedachte bij hem op dat hij nu al, in relatief korte tijd, een groot deel van het traject had afgelegd dat hij zich ten doel gesteld had bij de aanvang van zijn universitaire studie. Alles was verlopen zoals hij gepland had; en als vanzelf, zonder veel inspanning. Hij had niets aan het toeval overgelaten en alle stappen genomen die nodig waren om zijn plannen te realiseren.

Hij mocht zich succesvol noemen. Hij zag zichzelf graag als een krachtig autonoom individu dat bewust invloed op de omstandigheden had uitgeoefend en erin geslaagd was zich een leven te creëren dat het resultaat vormde van een doelmatig uitgevoerde strategie. Alle hindernissen had hij moeiteloos genomen. Het scheen hem toe dat dit de opperste vorm van genot was: het besef problemen te kunnen hanteren, meester te zijn over zijn eigen lot en met geleidelijke regelmaat vorderingen te maken op de weg die hij voor zich had uitgestippeld.

Op een vrijdagavond, eind februari, na de gebruikelijke borrel op de zaak, in de tram op weg naar zijn woning, werd hij plotseling overvallen werd door een onbegrijpelijke nervositeit die uit het niets scheen op te komen, als een zich explosief vermenigvuldigend virus. Het was bijna zeven uur. Hij zat achter in de volle tram, ingeklemd tussen de vrouw op de bank naast hem en de passagiers die in het gangpad schouder aan schouder stonden te wachten tot ze op de plaats van bestemming aankwamen. Zijn diplomatenkoffer op de knieën, zijn handen er beschermend bovenop, had hij zitten naden­ken over de invulling van die avond: hij had een afspraak met Loeki om naar een musical in Carré te gaan; daarna zouden ze iets gaan drinken in een grand-café en later op de avond zouden ze naar een jazzcafé gaan waar ze tot diep in de nacht zouden dansen op de livemuziek van een band. Dat was niets nieuws: zo hadden ze samen al vele avonden doorgebracht, het was een soort ritueel geworden en altijd was het plezierig, hoewel misschien niet erg opwindend.

Wat gebeurde er? Het onbegrijpelijke van de plotselinge angstgevoelens en het ontbreken van enige aanleiding ervoor veroorzaakten een vlaag van paniek. Hij klemde zijn handen om de randen van zijn koffer; het zweet brak hem uit. Haastig stond hij op, stootte met zijn koffer tegen de benen van de vrouw naast hem en wrong zich met snel kloppend hart tussen de mensen in het gangpad door. Er was geen ruimte. Juist toen hij het gevoel kreeg zich niet meer te kunnen inhouden en de neiging voelde opkomen onbeheerst te gaan duwen, een kreet te slaken, stopte de tram. Hij liet zich meevoeren in de stroom mensen die bij de halte uitstapten.

Misselijk en transpirerend, stond hij met zijn diplomatenkoffer bungelend in zijn trillende hand, op de hoek van de Nieuwezijds Voorburgwal en de Raadhuisstraat. Hij ademde de buitenlucht diep in en vroeg zich af wat hij nu moest. Wat was er gebeurd? Waaraan had hij gedacht? Enigszins opgeknapt door de verfrissende werking van de koele buitenlucht, begon hij zich geschrokken af te vragen wat de oorzaak was van deze onverwachte aanval. Was het iets lichamelijks? Iets anders kon hij zich niet voorstellen: de vlaag van paniek moest een fysieke oorzaak hebben; hij had aan niets onaan­genaams gedacht, vlak voor het begon, dat wist hij zeker. En hij was zich niet bewust van al dan niet sluimerende problemen. In een toestand van verwarring en verontrusting, begon hij naar huis te lopen. Hij was een halte te vroeg uitgestapt. Het was kwart over zeven.

Wie zoekt zal vinden (3/3)

Gegeven zijn twee cirkels met gelijke straal die elkaar snijden in A en B. De lijn l gaat door A en snijdt de cirkels in P en Q. Bewijs dat de driehoek BPQ gelijkbenig is.WZZV31

We proberen Polya’s aanpak uit.

Het probleem begrijpen

• Wat is de stelling? Wat is de hypothese?
Twee cirkels, gelijke straal, lijn door een snijpunt van de cirkels, snijdt beide cirkels, de een ook nog in een ander punt.

• Wat is de conclusie?
Dat de driehoek PBQ gelijkbenig is. Wat is gelijkbenig? Twee zijden moeten gelijk zijn, dezelfde lengte hebben. Het is niet meteen duidelijk wélke zijden gelijk moeten zijn.

• Wat zijn de voorwaarden?
De cirkels hebben een gelijke straal, de cirkels snijden en lijn l snijdt de cirkels in P, Q en A. Een deel van de notatie ligt hierdoor al vast. We noteren de middelpunten van de cirkels als M en N; de ene cirkel noemen we Cm, de andere Cn. We maken de cirkels zó dat de middelpunten in het overlappende gebied liggen,- maar dat is geen voorwaarde. Dat zouden we dus kunnen wijzigen. Lijn l loopt tussen de middelpunten,- dat is óók geen voorwaarde. Als het nodig is of handig lijkt, maken we een nieuw plaatje waarbij de de laatste twee niet-voorwaarden eventueel kunnen wijzigen of variëren.

Een plan ontwerpen
We moeten bewijzen dat driehoek PQB gelijkbenig is. We proberen eerst uit te zoeken welke zijden gelijk zijn. Een visuele inspectie leert ons dat we zouden kunnen proberen te bewijzen dat de zijden PB en QB gelijk zijn. Hoe? Kennen we gerelateerde stellingen? Ja, we kennen diverse problemen die hier op lijken. Bijvoorbeeld: twee driehoeken vinden waarvan PB, respectievelijk QB, zijden zijn en te laten zien dat die congruent zijn. Dat is een bekende heuristiek. We moeten daarvoor op zoek naar de twee bewuste driehoeken. Die zijn er in eerste instantie niet. We hebben driehoeken en dus hoekpunten nodig. Hulpmiddelen. We proberen eventueel extra punten te introduceren, zo economisch mogelijk natuurlijk. Als we die driehoeken hebben, hebben we de strategie.

Plan uitvoeren
We proberen te bewijzen dat de zijden PB en QB gelijk zijn door twee driehoeken te vinden waarvan PB, respectievelijk QB, zijden zijn en te laten zien dat die congruent zijn. We moeten op zoek naar de twee bewuste driehoeken. We hebben driehoeken en hoekpunten nodig. Punten die daarvoor in aanmerking komen zijn, naast uiteraard P, Q en B: M, N, en A. Andere punten hebben we in eerste instantie niet. We tekenen, met de punten die we hebben, wat driehoeken waarvan PB een zijde is: PBM en PBA; beide op de cirkel Cm. We tekenen ook driehoek PBN, die ligt niet in zijn geheel op cirkel Cm. We tekenen ook alle driehoeken waar QB een zijde van is: QBM, QBN, QBA.
WZZV32
We hebben een aantal driehoeken getekend. Zien we al twee driehoeken die in aanmerking komen? PBM en QBN lijken congruent, daarmee gaan we het proberen.

Weten we al iets van die driehoeken? We zien dat sommige zijden gevormd worden door stralen van de cirkels. Die zijn allemaal gelijk, want de cirkels waren even groot. Dat geven we aan – een nuttige aanvullende notatie. We constateren: de andere zijden van die twee driehoeken zijn al gelijk. We proberen te bewijzen dat de hoek tussen die zijden bij de twee driehoeken gelijk is, dan zijn de driehoeken congruent op grond van ZHZ. We realiseren ons dat het beide middelpuntshoeken zijn, dus we gaan de stelling van de omtrekshoek proberen te gebruiken, die zegt dat de middelpuntshoek het dubbele is van een bijbehorende omtrekshoek.

WZZV33

We zien dat beide hoeken een middelpuntshoek zijn (van Cm respectievelijk Cn) zijn bij hoek PAB. We halen alle overbodige lijnstukken weg en we concluderen op grond van ZHZ dat de driehoeken PMB en QNB congruent zijn. En dus zijn PB en QB gelijk.

Terugkijken
Ons plan uitvoeren hebben we nu gedaan, elke stap moet nog precies gecontroleerd en bewezen worden. We hebben de cirkels gebruikt, de gegevens, alles was nodig. We schrijven het bewijs nog precies op. Dat is meteen de controle.

WZZV34

We moeten ons nu nog afvragen of dit bewijs geldig blijft als we wat zaken variëren. Wat gebeurt er als we M en N buiten het overlappende gebied van de cirkels laten vallen? Op de rand van dat gebied? Als we lijn l een geheel andere positie geven?

WZZV35 Hebben we alle voorwaarden gebruikt? Kunnen we het resultaat nog anders bewijzen? Wat hebben we gedaan? Wat hebben we gebruikt? We kunnen proberen of het nog korter kan, indachtig Ockhams scheermes.

Geldt de stelling ook als de stralen niet even groot zijn? Wat is de essentie van het bewijs? Kunnen we de opgave anders formuleren? We kunnen ook wat andere zaken bedenken die we zouden kunnen gebruiken. Bovendien kunnen we op zoek gaan naar alternatieve bewijzen. Die zijn wel te vinden – sommige zijn fraaier dan het gegeven bewijs – maar we presenteren ze hier niet.

Polya biedt in How to Solve It een globale structuur om problemen als deze aan te pakken. Deze structuur – probleem begrijpen, plan ontwerpen, plan uitvoeren, terugkijken – creëert een model waarmee de problemen benaderd kunnen worden. Garanties worden daarbij niet gegeven, maar het model is toch nuttig. Heuristische methoden wérken. Waarom? De structuur, de suggesties en de vragen brengen een intellectuele mobilisatie op gang die voorkomt dat de probleemaanpakker passief naar het probleem blijft zitten staren.

Wie zoekt zal vinden
‘Wie zoekt, zal vinden,’ zei mijn moeder vaak tegen mij toen ik nog een jongetje was; deze optimistische uitspraak schreef ze daarbij toe aan de heilige Franciscus van Assisi maar hij is terug te vinden in Matteüs:

‘Bidt en u zal gegeven worden; zoekt en gij zult vinden; klopt en u zal opengedaan worden. Want een ieder, die bidt, ontvangt, en wie zoekt, vindt, en wie klopt, hem zal opengedaan worden.’ (Matteüs 7:7,8 NBG).

Bidden dat problemen opgelost worden lijkt de juiste aanpak niet, op de deur kloppen is ook hulpeloos passief, maar de kern van deze drievoudige belofte levert een positief perspectief: actief zoeken helpt.

Terug naar het begin

Twee Groene Ogen

In 1996, toen ik nog in Amsterdam woonde, in de Rivierenbuurt, schreef ik het onderstaande. Het werd gepubliceerd in het online literair magazine Meander.

Onlangs haalde ik dit luchtige verhaaltje (waarin water een belangrijker element vormt) nog eens tevoorschijn en herlas het – een niet geheel toevallige actie. SaxiS, dat was ik. Misschien zou ik hier de onvoltooid tegenwoordige tijd moeten gebruiken: want sommige preoccupaties, bepaalde perspectieven, veranderen in de loop der tijd maar weinig en creëren de elastische coherentie in patronen die je persoonlijkheid karakteriseren. Golfpatronen misschien en soms kantelt het perspectief wel degelijk – maar dat vormt dan natuurlijk juist de essentie.

_________________________________________________________________
MEANDERKRANT WOENSDAGEDITIE  (20)
20 oktober 1999
In deze twintigste Woensdageditie van de Meanderkrant leest u ditmaal geen artikel, maar een verhaal. Vanaf nu zullen we af en toe op woensdag, naast de artikelen over en rond literatuur, ook eens een verhaal publiceren. Vandaag bieden wij u het verhaal “Twee Groene Ogen” van Saxis.
_________________________________________________________________

Ik had, dat wist ik, een helder en volledig beeld van haar: wie ze was, wat ze in het leven wilde. Ik kende haar grillen, haar plotselinge stemmingswisselingen (die ik met nauwkeurige en aantoonbare precisie kon voorspellen), haar geheime dromen. Haar gewoontes, de kleine eigenaardigheden, haar bewuste en onbewuste reacties – ze verbaasden mij niet meer. Ik wist alles van haar. In de drie jaar dat onze relatie duurde, had ik alle aanvankelijke leemtes in mijn kennis zorg­vuldig en systematisch opgevuld. Alles had ik geregistreerd: haar onthulling­en (al dan niet bewust gedaan), de verhalen van haar moeder, van haar vrien­dinnen. Eénmaal had ik een avond in een bedenkelijk café doorgebracht met een vroegere minnaar van haar; na enige drankjes vertelde hij mij enthousiast de meest intieme details uit hun voormalige relatie. Ik inter­poleerde en extrapoleerde gegevens, vergeleek mijn informatie met die van anderen en alles, álles paste ik in de puzzel in. Tenslotte begon ik te denken dat mijn informatie nagenoeg compleet was. Wat mij nu nog restte was: controle, toetsing en voorspellingen naar een verre toekomst. Met geruststellende regelmaat noteerde ik in gedachten allerlei bevestigingen van mijn soms gewaagde voorspellingen.

En toen gebeurde er het volgende.

Het was een lentedag in het begin van de jaren tachtig – een koele winderige dag met een aangename voorjaarszon die regelmatig vanachter de bewolking tevoorschijn kwam. De ochtend had ik doorgebracht aan boord van mijn zeilboot, op het Snekermeer, maar tegen een uur of één begaf ik mij naar de kantine van de zeilclub waar ik en­kele schaakpartijen speelde met de stamgasten. Om drie uur verliet ik de club, enigszins licht in het hoofd door de biertjes die ik ge­dronken had, en wandelde in de richting van de dijk. Intussen dacht ik aan Rumia. We zouden de rest van het weekeinde op de plassen zeilen en de nacht zouden we aan boord van de Schakel doorbrengen. Rumia zou met de bus aankomen. Ik verkeerde in een prettige stemming en verheugde me op de komende uren.

Natuurlijk had ze de vroege bus gemist; ik had mij niet eens naar de halte begeven. Maar nu, één bus later, zou ze er zijn; en toen ik in de verte de bus over de dijk zag rijden, zag ik duidelijk het felle geel van haar zeiljack, op de plaats achter de bestuurder. Ik zwaaide. Een intense tevredenheid maakte zich van mij meester. De bus stopte bij de afslag naar het dorp en Rumia stapte uit, een lach op haar gezicht. We kusten elkaar langdurig en wandelden vervolgens samen naar de jachthaven.

In de winkel kochten we als aanvulling op onze proviand Camembert, een doos toastjes en twee flessen rode Bordeaux voor de avonduren. Een half uur later waren we op het water; ik zat aan het roer en Rumia zat op het voordek, haar benen opgetrokken, de armen om haar knieën geslagen. De wind speelde met haar lange haren.

Ik keek naar haar. Een scène uit een reclamefilm leek het: slanke bruine vrouw met lange blonde krullen, bewegend in de wind, zich uitrekkend als een kat op het dek van de zeilboot. Ze draaide zich om en keek naar mij. Een stralende lach.

‘Wat kijk je ernstig.’

‘Ik denk.’

‘Aan mij?’

‘Aan jou.’

Ze liet zich tevreden achterover zakken; ik zag hoe ze over het water uitkeek en volgde haar blik. Weilanden, de kerktoren van het dorp aan de over­kant van het meer, glinsterend zonlicht op het water. Ik keek weer naar Rumia en probeerde contouren vast te leggen: de grenzen van haar lichaam zoals ze zich aftekenden tegen de bleke lucht. Gebroken en gebogen lijnen, nooit recht en nooit precies te trek­ken. Overal was beweging, realiseerde ik me. Ik stelde mij voor hoe kleine onzichtbare stofjes zich losmaakten van – ja van wat? Misschien van het pa­troon dat ik in gedachten had. Moleculen moesten zich vrij bewegen. Kleine springende deeltjes – ik verbeeldde mij dat ik ze zag dansen.

Ik hield op met denken. Ik had het gevoel dat ik mij opende als een schelp.

We gingen overstag. Ik genoot van de koele wind, het geluid van de golfslag, de geur van het water. Ik lachte hardop. Ik voelde een enorme impuls om te springen, te bewegen – ik kon bijna niet stil blijven zitten. Een merkwaardige gewaarwording deed zich aan mij voor: Rumia zat met haar rug naar mij toe maar ik zag haar gezicht haarscherp voor me: haar bruine huid, haar wenkbrauwen, haar lippen, haar neus – het gezicht leek groter te worden, op me af te komen, steeds dichter, tot ik alleen haar ogen nog zag, groter en groter. Ik had het gevoel dat ik mijn evenwicht verloor.

‘Cornea,’ fluisterde ik. ‘Retina, iris.’

De fok begon te klapperen. Rumia keek om.

‘Wat doe je?’

‘Neem jij het roer eens over!’

Ze kroop over het voordek en kwam naast me zitten, dicht tegen mij aan; ik voelde haar lichaamswarmte.

‘Scherp aan de wind,’ zei ik schor.

De boot begon over te hellen. Ik ging op het zijdek zitten, bevestigde de ring van de trapeze in het tuig, haakte mijn voeten achter de hangbanden en liet mij soepel achterover zakken…

Het was of ik een vrije val maakte; ik had geen gewicht meer, geen massa – ik was een geest die over het water zweefde. De golven bewogen zich met grote snelheid onder mij door. Bruisend water. Ik hoorde Rumia lachen en wierp één arm achterover.

Dit was het ultieme moment.

En toen begon alles te bewegen, het perspectief kantelde – een caleidoscoop aan kleuren; ik hoorde Rumia een kreet slaken en toen zwom ik met open ogen onder water – alles was blauwgroen. Ik voelde het water niet. Ik handelde automatisch.

En toen: bewustzijn.

Rumia streek haar natte haren uit haar gezicht en keek me aan. Ze lachte. Ik lachte ook, ik schaterde het uit. Hijgend hingen we vlak tegen elkaar aan op de gladde romp. Ik was volmaakt gelukkig.

Ik keek in haar groene ogen. Vaag zag ik nog haar gezicht: de natte bruine huid, de lach om haar lippen. Maar haar ogen werden groter: ze kwamen op mij af, alsof ik voorover viel. En nu zag ik duidelijk de kleine grijze en groene en bruine vlekjes, de zwarte opening in het centrum. Het was alsof er een explosie van neuronen in mijn hersenen plaatsvond. Wat wist ik? Hoe had ik kunnen denken… geloven… Waanzin! Ik realiseerde mij opeens, met onverbiddelijke helderheid, dat ik haar helemaal niet kende.

Ik haalde diep adem en klemde mij vaster aan de romp; opeens voelde ik het koude water.

We keken elkaar aan.

En ik werd mij ervan bewust, helder en genadeloos, dat ik haar niet kende, dat ik haar niet begreep,- haar niet, mijzelf niet, de onbegrijpelijke mysterieuze band tussen ons beiden niet.

Ik wist niets.

Amsterdam, 2 mei 1996

Green-Eyes

Wie zoekt zal vinden (2/3)

De weg naar de oplossing

Polya_4In de inleiding bij de eerste druk van How to Solve It vertelt Pólya hoe hij als student luisterde naar lezingen, boeken las, oplossingen bestudeerde, maar daarbij door één vraag steeds opnieuw gekweld werd: hoe is het mogelijk zélf zo’n oplossing te vinden?
Hoe kan iemand zoiets zélf ontdekken? En hoe kan ik zulke zaken ontdekken of uitvinden?

Hij hoopte dat How to Solve It de vaardigheid van studenten om problemen op te lossen zou vergroten. Niet alleen wiskundige problemen, maar ook problemen in algemene zin. Veel van zijn voorbeelden komen echter uit de wiskunde, vooral uit de meetkunde.

Wat is een probleem?

Een probleem is de kloof tussen een gegeven beginsituatie en een gewenste situatie. De probleemaanpakker zal handelingen moeten verrichten om van de beginsituatie in de eindsituatie te komen. Het probleem is dat de probleemaanpakker niet onmiddellijk weet welke handelingen verricht moeten worden om de gewenste situatie – het doel, de oplossing – te bereiken.

Daarbij kunnen zowel de beginsituatie als de eindsituatie onduidelijk zijn. De probleeminformatie en het doel zijn dan slecht of onvoldoende gedefinieerd. Dit is vaak het geval bij praktische problemen.

Problemen zin er in allerlei soorten en typen. Ze kunnen in klassen worden ingedeeld op grond van allerlei criteria, bijvoorbeeld open versus gesloten, onvolledig gedefinieerd versus volledig gedefinieerd, praktisch versus theoretisch, informeel versus formeel etc.

Probleemaanpak

Probleemoplossen kunnen we omschrijven als het werken aan de oplossing van een probleem waarbij zoeken naar een oplossing centraal staat. De kloof tussen de beginsituatie en de gewenste eindsituatie moet worden overbrugd. Er wordt een weg naar het doel – de oplossing van het probleem – gezocht. Dat zoeken kan bestaan uit een blinde exploratie van mogelijkheden die systematisch (d.w.z. uitputtend, alle mogelijkheden onderzoeken) kan zijn of onsystematisch (trial-and-error, lukraak mogelijkheden proberen). Deze laatste vorm van probleemoplossen staat wat cognitief niveau betreft op dat van een rat in een doolhof.

Er is dus een probleemaanpakker, er is probleeminformatie, er is een doel. Er moeten handelingen worden verricht om het doel te bereiken. Daarbij kunnen zowel probleeminformatie als doel onvolledig of slecht gedefinieerd zijn. De handelingen die verricht moeten worden laten – wil er echt van een probleem sprake zijn – bovendien geen algoritmische procedure toe.

De probleemaanpakker moet nu toch een aanpak zien te bedenken. Een methodische probleemaanpak is een algemene methode om een aanpak voor concrete problemen te genereren.

Polya’s aanpak

Pólya maakt onderscheidt tussen twee soorten problemen: problems to find (‘vindproblemen’)en problems to prove (‘bewijsproblemen’). Een problem to find is een probleem waarbij een onbekende gevonden moet worden, bijvoorbeeld de oplossing van een vergelijking. Een ander voorbeeld, waarbij een object gevonden moet worden: teken (construeer) een driehoek waarbij de lengten van de drie zijden 3, 5 en 7 zijn. Een bewijsprobleem is een probleem waarbij een stelling of bewering bewezen moet worden: bewijs dat de bissectrices van de hoeken in een driehoek door één punt gaan.

Pólya onderscheidt vier basisstappen in de aanpak.

  • Het probleem begrijpen
  • Een plan ontwerpen
  • Plan uitvoeren
  • Terugkijken

Hij komt met het volgende lijstje voor de aanpak van een probleem. Deze aanpak, in de vorm van een uitgewerkte lijst, is te vinden aan het begin van het boek.

1.       Het probleem begrijpen

  • Wat is de onbekende?
  • Wat zijn de gegevens?
  • Wat is de voorwaarde?
  • Maak een plaatje
  • Kies nuttige notaties
  • Scheid de verschillende delen van de voorwaarde

2.       Een plan ontwerpen

  • Ken je een verwant probleem?
  • Kijk naar de onbekende!
  • Hier is een verwant opgelost probleem – Kun je het gebruiken?
  • Zoek de relatie tussen de gegevens en de onbekende

3.       Plan uitvoeren

  • Controleer elke stap

4.       Terugkijken

  • Kun je het resultaat controleren?
  • Kun je het resultaat anders afleiden?
  • Kun je de het resultaat of de methode elders gebruiken?

Bij problems to prove voegt Pólya nog diverse vragen en suggesties toe:

  • Wat is de hypothese? Wat is de conclusie?
  • Scheid de verschillende delen van de hypothese
  • Vind de verbinding tussen hypothese en conclusie
  • Kijk naar de conclusie! En probeer een vergelijkbaar probleem te vinden met dezelfde of vergelijkbare oplossing
  • Houd één deel van de hypothese vast, laat het andere deel vallen; geldt de conclusie nog?
  • Kun je iets nuttigs uit de hypothese afleiden?
  • Kun je een andere hypothese bedenken waaruit je de conclusie gemakkelijk zou kunnen afleiden?
  • Kun je de hypothese en/of de conclusie veranderen zo dat de nieuwe hypothese en/of conclusie dichter bij elkaar liggen?
  • Heb je de hele hypothese gebruikt?

Voorbeeld

Het vinden van bewijzen in de Voortgezette meetkunde, zoals die op het VWO in het wiskunde-B-programma is opgenomen, blijkt een structureel probleem. Soms schijnt de kloof tussen stelling en bewijs een gapende afgrond. En routebeschrijvingen ontbreken.

We kunnen Polya’s aanpak uitproberen op zo’n probleem:

B6 h21 opg 58Gegeven zijn twee cirkels met gelijke straal die elkaar snijden in A en B. De lijn l gaat door A en snijdt de cirkels in P en Q.

Bewijs dat de driehoek BPQ gelijkbenig is.

Eenvoudig is dit probleem niet direct. Het vereist bovendien iets meer voorkennis dan de voorbeelden van Pólya. Het bewijs dat een schoolmethode (Getal & Ruimte) geeft komt volstrekt uit de lucht vallen; ook in andere opzichten is het niet bevredigend.

In de praktijk slagen leerlingen er zelden in dit type problemen zonder hulp op te lossen. Hoe dit aan te pakken?

Lees hier verder.

Lezen en Praten

Wir müssen wissen, wir werden wissen. – David Hilbert

Misschien is de imperatieve kracht van het motto hierboven wel typisch Duits.

Ik moest eens tentamen analyse doen, lang geleden, een van de eerste vakken in de propedeuse.

Ik ging nooit naar college want ik dacht dat ik het beter zélf allemaal kon bestuderen. Of bedenken. Ontdekken! Hilbert, als wiskundige, interesseerde me in dat vroege stadium niet. Ik was Platonist. Wiskundige structuren hadden een eigen realiteit, ze bestónden, geheel autonoom, je kon ze zelf ontdekken. Ik bestudeerde, toch verstandig, daarbij wel dictaten; soms gebruikte ik een boek. Ik was blij dat ik van school af was en niet meer in de klas hoefde te zitten. Dat had ik tijdens mijn studie nog één dag gedaan en toen was ik gevlucht. Een vriend studeerde politicologie. Een ander informatica. Mijn vriendin studeerde kunstgeschiedenis. Met haar sprak ik over Giotto, Friedrich, de Cisterciënzers, maar zelden over wiskunde. En wij lazen. Wij lazen veel.

Het tentamen was mondeling. Het onderwerp was functionaalanalyse. Toen zei ik, in een nonchalante verwijzing, tegen de docent:

‘Hilbertruimte.’

Daarbij sprak ik Hilbert uit op zijn Frans, want ik dacht het een Fransman was.

Ielbèr…

David HilbertDaar moest hij hartelijk om lachen.

http://nl.forvo.com/word/david_hilbert/

Übung macht den Meister.

Leerstijlen verschillen.

Dat hoedje oogt in elk geval ook niet erg Duits.

 

 

 


4-8-2014: Radiopraatje Hilbert uit 1930 met de beroemde woorden. Heel goed Duits.

http://bit.ly/1qUtuzy

 

Wie zoekt zal vinden (1/3)

Toen ik moe was van het zoeken, leerde ik vinden. Friedrich Nietzsche

 

How to Solve It

How To Solve It 1In 1945 verscheen de eerste druk van How to Solve It. Een halve eeuw later vond ik geheel toevallig, in een antiquariaat in mijn geboortestad, het exemplaar dat hiernaast is afgebeeld; van Pólya, had ik toen nog nooit gehoord, geloof ik.

Georg Pólya was een van oorsprong Hongaars wiskundige die zich met verschillende takken van de wiskunde bezig hield, van getaltheorie tot functietheorie, van groepentheorie tot waarschijnlijkheidsrekening, van meetkunde tot combinatoriek. Ook voelde hij zich aangetrokken tot filosofie en literatuur. Escher raadpleegde Pólya over symmetriegroepen en raakte mede daardoor geïnspireerd tot zijn werk met periodieke betegelingen. Pólya doceerde van 1914 tot 1940 in Zurich en vervolgens tot 1953 aan Stanford University. Hij bleef tot zijn negentigste lezingen geven en overleed op 97 jarige leeftijd in Palo Alto.

Toen men hem vroeg welke wiskundige hem het meest beïnvloed had, was het antwoord: Euler. ‘Euler deed iets wat geen enkele wiskundige van zijn statuur deed. Hij verklaarde hoe hij zijn resultaten vond.

Pólya was zeer geïnteresseerd in wiskundedidactiek en pedagogiek. In een lezing voor leraren aan basisscholen verklaarde hij: ‘Wij hebben echter een hoger doel. We willen alle bronnen van het opgroeiende kind ontwikkelen. En de rol die wiskunde daarbij speelt is voornamelijk het denken. Wiskunde is een goede denkschool. (…) Wiskunde is geen toeschouwersport. Wiskunde begrijpen is in staat zijn wiskunde te bedrijven. En wat betekent het om wiskunde te bedrijven? In de eerste plaats in staat zijn problemen op te lossen.

How to Solve It werd vertaald in vele talen en er werden vele exemplaren van verkocht; het wordt nog steeds herdrukt. Het is geschreven in heldere taal; de charme ervan is de eenvoud. Het bestaat uit enkele delen: In the Classroom, How to Solve It, en Short Dictionary of Heuristic. In de tweede editie werd daar nog een vierde deel aan toegevoegd: Problems, Hints, Solutions.  Het grootste deel wordt gevormd door het woordenboekje van de heuristiek. Daarin geeft hij ook een definitie van heuristiek:

‘Heuristic, or heuretic, or ‘ars inveniendi’ was the name of a certain branch of study, not very clearly circumscribed, belonging to logic, or to philosophy, or to psychology, often outlined, seldom presented in detail, and as good as forgotten today. The aim of heuristic is to study the methods and rules of discovery and invention.’

Heuristieken

Als er voor een probleem geen algoritme bekend is moeten er andere wegen worden gezocht. Een heuristische methode is een methode om iets te vinden. Zo’n methode bestaat uit een samenhangende structuur van heuristieken: strategische aanwijzingen om stappen te zetten in de richting van de oplossing.

Daarbij moeten er keuzes en beslissingen gemaakt worden. Misschien moet er een andere invalshoek worden gezocht. Heuristieken zijn vuistregels – vuistregels die nog niet garanderen dat een oplossing gevonden wordt. Deze vuistregels voorkomen een onsystematische exploratie en beperken het aantal wegen in een systematische exploratie (als die al mogelijk is). Bij een knooppunt van wegen kiest men, volgens een heuristische methode te werk gaand, de wegen die het meest waarschijnlijk tot het doel leiden.

Pólya heeft als eerste heuristieken op de agenda gezet. Het doel van de heuristiek, aldus Pólya, is het bestuderen van methoden en regels voor ontdekking en uitvinding. Heuristisch redeneren is daarbij provisorisch, plausibel en niet beslissend, definitief of strikt. Het is vaak gebaseerd op analogie of inductie. Moderne heuristiek, aldus Pólya, probeert het proces van probleemoplossen te begrijpen, in het bijzonder de mentale operaties die nuttig zijn in dat proces.

Ook de psychologische en didactische kanten komen aan bod.
example how to solve it a

As good as forgotten today’… Intussen zijn de tijden veranderd,- niet in de laatste plaats door How to Solve It. Over heuristieken en problem solving is heel wat gepubliceerd. Vanuit een didactische context maar ook in bijvoorbeeld de cognitiewetenschap wordt er aandacht aan besteed.

Men vraagt zich onwillekeurig af of How To Solve It als boek een niet helemaal afgerond project is. Misschien wilde Pólya een gestructureerd boek schrijven, maakte aantekeningen (het woordenboek) maar slaagde er niet in het tot een eenheid te verwerken; toen heeft hij er maar een woordenboekje van gemaakt, dat eigenlijk een lijst begrippen en methoden e.d. is met interne verwijzingen. Zelf kondigt hij in de inleiding in 1944 aan: “The subject is more fully dealt with in a more extensive book by the author which is on the way to completion.” Er zouden inderdaad nog een aantal boeken volgen: Mathematics and Plausible Reasoning (twee delen) en Mathematical Discovery (ook twee delen).

Er zijn heel wat bezwaren tegen How to Solve It en Pólya’s aanpak ingebracht: De werkwijze van ‘echte’ wiskundigen zou heel anders zijn, studenten zouden er niets van kunnen leren. Wetenschappelijk zou het geen waarde hebben: er valt niets te kwantificeren, Pólya’s strategieën zijn niet geoperationaliseerd of te operationaliseren, het belang van conceptuele kennis ontbreekt.

Pólya beschouwde problem solving echter als een praktische kunst, net als didactiek. Hij wilde de wiskunde-in-ontwikkeling demonstreren.

Lees hier verder.

 

De monotonie van het algoritme

Chaque problème que j’ai résolu est devenu une règle, qui a servi après à résoudre d’autres problèmes. Descartes, Discours de la Méthode, 1637

Rekenen

Rekenen is saai. Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen: er is precies voorgeschreven wat je moet doen en wie braaf de regels volgt krijgt als beloning een uitkomst die al van tevoren vastlag. Sommigen menen dat wiskundigen vooral rekenen en voortdurend geobsedeerd met getallen in de weer zijn. Dat is gelukkig een vergissing. Het wiskundige spectrum is breder. Wiskundigen zijn geïnteresseerd in vele zaken (ook in getallen) maar met rekenen houden ze zich slechts sporadisch bezig – en meestal helemaal niet. Rekenen behoort niet tot de kern van wiskundige activiteiten. Er zijn vele andere objecten dan getallen die de wiskundige bestudeert. Je kunt altijd precies één cirkel tekenen door de drie hoekpunten van een driehoek – dat heeft niets met getallen te maken.

Rekenen is het uitvoeren van operaties op getallen. Het grootste deel van de wiskunde heeft geen betrekking meer op getallen. Het mantra van Pythagoras, ‘alles is getal’, leeft voort als curiositeit in de marge van de filosofiegeschiedenis en zijn muziek der sferen hoort ook niemand meer. Misschien is het, als je dan toch iets algemeens over de essentie van de wiskunde wilt zeggen, beter om te stellen dat de wiskunde over patronen gaat. Structuren. Orde. En daarbij draait het in de praktijk van de wiskundige vooral om het zoeken naar die patronen en het oplossen van problemen daarbij. Het zoeken naar orde, het zoeken naar structuren, het ontdekken van het ontbrekende stukje van een structuur die opdoemt, het analyseren daarvan, dat is wat de wiskunde interessant maakt.

Maar rekenen is nuttig. We hebben uitkomsten nodig, we willen uitkomsten, we eisen uitkomsten. In de praktijk van het dagelijks leven, in de maatschappij, in de wetenschap, is het rekenen noodzakelijk. Sinds de uitvinding van de computer en de ontwikkeling ervan, hebben we het rekenen echter grotendeels uitbesteed. Winkelpersoneel hoeft niet meer te rekenen want dat doet de kassa. Sommigen kunnen het ook niet meer zo goed. Dat is geen probleem. Rekenmachines mogen het saaie werk doen. En ze kunnen het ook veel sneller en steeds beter.

Toch is het rekenproces in abstracto wel interessant – maar om heel andere redenen dan het bepalen van een uitkomst.

RekenmachineTI-25

In het jaar dat ik naar de bovenbouw van de middelbare school ging werd de aanschaf van een rekenmachine voor het eerst verplicht gesteld. We gebruikten een Texas Instruments, de TI 25. Het was een elegant apparaatje, plat en licht en het stond gewoon, net als de schoolboeken, op de boekenlijst. En de TI 25 rekende voor je. Soms niet al te snel. Een geliefde grap was op de rekenmachine van je buurman 99! tikken. Dan was het apparaat een paar minuten bezig. Het scherm bleef blanco. Wilde je buurman in de tussentijd iets berekenen, dan was de suffe conclusie vaak: ‘Hé, hij doet ’t niet!’

Rekenen is dom, de rekenmachine is dom en de gedachteloze gebruiker is het allerdomst. Konden wij zelf nog rekenen? Ja, want we hadden al op de basisschool geleerd hoe je moest optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, rekenen met breuken, met procenten. Exact rekenen met breuken, zonder ze af te ronden, dat kon die TI 25 niet. Hoe die TI 25 precies de wortel van een getal uitrekende wisten we zelf eigenlijk ook niet. Moest je zelf nog kunnen rekenen? Ja, want anders begreep je de algebra niet. Wie niet kon rekenen zou daarbij gehanteerde procedures niet of nauwelijks begrijpen. Maar niemand vroeg je meer om een staartdeling te maken. (Toch was het handig om dat te kunnen. Ik meen me te herinneren dat er veeltermen in factoren ontwikkeld moesten worden, ergens in de bovenbouw en dat kon met datzelfde staartdelen dat je, met getallen, op de basisschool geleerd had. Maar misschien behoorde dat niet tot de eindtermen voor het examen.)

We kunnen het rekenen om uitkomsten te vinden dus grotendeels uitbesteden. Waarom kan een computer het? Omdat er precies vaststaat wat er moet gebeuren. Wil je de uitkomst van 6349 + 285? Zet de cijfers van de twee getallen onder elkaar,  beginnend aan de rechterkant, tel de laatste twee cijfers op. Als er meer dan 10 uitkomt, ‘transporteer’ je 1 naar de volgende kolom van twee cijfers en je telt daar op. Ga zo door tot je links aan het eind bent. Het kan daarom machinaal. Mechanisch. Gedachteloos. Dat recept, het rijtje van instructies, is een voorbeeld van een algoritme. Daarbij maakt het niet uit hoe de uitvoering precies gebeurt: het doet er niet toe of je het optellen doet met krabbels op papier of door manipulatie van elektrische stroompjes. Dat laatste gaat in elk geval een stuk sneller.

In de schoolwiskunde komen sommigen een heel eind met algoritmen. Ze leren álles uit het hoofd. Want een algoritme is helder, overzichtelijk en eenvoudig te memoriseren. Neem het opstellen van de vergelijking van een raaklijn aan een grafiek. Alle stappen liggen precies vast. De reden dat een leerling ver kan komen met het aanleren van algoritmen is natuurlijk ook dat het type problemen dat opgelost moet kunnen worden vastligt. (Er moeten weliswaar ook bepaalde algemene wiskundige vaardigheden aangeleerd worden maar die zijn lastig te concretiseren en daarom lastig te examineren.) Het is eigenlijk niet nodig om het raaklijnalgoritme écht te begrijpen, de onderliggende wiskunde ervan, hoewel dat ongetwijfeld de geheugenlast zou verminderen. Ook is het in dit opzicht van geen enkel belang te weten wie het algoritme bedacht heeft, waar het vandaan komt, hoe het ontwikkeld is. Soms valt van dat laatste wel iets te leren. Neem de geschiedenis van de ABC-formule.

al-Chwarizmi

In Chorasmië, een streek in het huidige Oezbekistan in de nabijheid van het Aralmeer, werd ergens tussen 780 en 800 n.Chr. een Pers geboren die later bekend zou worden onder de naam al-Chwarizmi. Over zijn leven is verder weinig bekend. Vermoedelijk was zijn geboortetaal Perzisch, of een dialect daarvan (het schijnt aan het Nederlands verwant te zijn); maar zijn werken schreef hij in het Arabisch. In deze tijd begon Bagdad het Griekse cultuurgoed uit de oudheid te assimileren. De eerste wiskundeboeken in het Arabisch verschenen.

al-Chwarizmi is bekend geworden door twee boeken. Het eerste, een elementair boekje over de rekenkunde, begint met de Latijnse aanhef: ‘Algorismi de numero Indorum’.

In het tweede boekje, Hisab al-jabr walmoeqabala bespreekt al-Chwarizmi eerste- en tweedegraadsvergelijkingen. Alles wordt gepresenteerd in woorden en hij heeft geen algemene oplossingsmethode voor de tweedegraadsvergelijkingen maar hij onderscheidt zes verschillende gevallen:

ax2 = bx, ax2 = c, bx = c, x2 + bx = c, x2 + c = bx, x2 = bx + c

vierkantalkhwarizmiDe oplossingen worden gegeven door middel van een recept, een algoritme, aangevuld met een meetkundige visualisatie, zoals de Grieken veel eerder ook al deden. De vergelijking x2+ 10x = 39 behandelt hij als volgt. Tel aan beide kanten 52 = 25 op: x2+ 10x + 25 = 64. Neem de helft van 10 = 5. Dan (x+5)2 = 82 dus x + 5 = 8 en dus x = 3. De negatieve oplossing werd door hem genegeerd. Een plaatje gaf betekenis aan de manipulaties.

Geschiedenis

Origineel was dit ook toen al niet en het bleef allemaal enigszins onsamenhangend en tamelijk elementair. De geschiedenis laat zien dat de historische ontwikkeling van een algoritme zoals de ABC-formule nog wel iets heel anders is dan de logische en methodische wiskundige ontwikkeling.

De Egyptenaren, rond 1500 v.Chr. kwamen niet verder dan het gebruik van uitgebreide tabellen die vlijtig gekopieerd werden – inclusief fouten. Omstreeks 400 v. Chr. hadden de Babyloniërs min of meer een methode zoals het aanvullen tot vierkanten hierboven. In dezelfde tijd kwamen ook de Chinezen met iets wat hierop leek. Bovendien hadden zij de abacus.

Rond 300 v. Chr. kwam Euclides met een algemene methode om kwadratische vergelijkingen op te lossen. De Indiërs hadden ook al eerder dan al-Chwarizmi een methode.  Zo rond 700 na Chr. kwam Brahmagupta met een algemene methode. Bovendien erkende hij ook dat er twee wortels waren. De volledige methode zoals wij die kwamen ontstond pas omstreeks 1100, bij Baskhara. Vele eeuwen eerder gebruikten de Babyloniërs overigens al x = √[(b/2)2 + c] – (b/2) and x = √[(b/2)2 + c] + (b/2) om x2 + bx = c and x2bx = c op te lossen.

Ook de namen van Diophantos en Cardano kunnen worden genoemd. Cardano compileerde rond 1545 verschillende werken over kwadratische vergelijkingen en combineerde Al-Chwarizmi’s aanpak met de meetkunde van Euclides. De huidige wiskundige notatie moest toen nog uitgevonden worden.

Voortgezet onderwijs

Tegenwoordig leert een leerling reeds in de onderbouw hoe een tweedegraadsvergelijking kan worden opgelost. Eerst worden een paar voorbeelden gegeven, wat elementaire typen en tenslotte volgt het hoogtepunt. In een HAVO-lesboek voor de derde klas van een paar jaar geleden werd dat als volgt gepresenteerd:

“Gelukkig is er een formule waarmee je elke kwadratische vergelijking kunt oplossen.”

ABC-formule 1

Amen!

Neem al-Chwarizmi’s vergelijking  x2+ 10x = 39

Leerling maakt ervan:

x2+ 10x – 39 = 0 En dan maar invullen:

D = 102 – 4∙1∙-39 = 256

√256 = 16

abc3

Klaar. Het is inderdaad gewoon een kwestie van invullen.

Elke tweedegraadsvergelijking (met reële oplossingen) kan in principe zo aangepakt worden. Als we de aanpak in stappen onderverdelen hebben we een voorschrift dat een computer kan uitvoeren. Zo’n voorschrift is een voorbeeld van een algoritme. Zelfs de grafische rekenmachine kan al overweg met zo’n eenvoudig algoritme. De instructies zien er in pseudocode als volgt uit:

abcalgo

Er is hier geen enkele vindingrijkheid meer vereist, er hoeft niet begrepen te worden waarom deze formule werkt, het is gewoon een kwestie van getallen invullen. Georg Polya vond het maar niks. In How to Solve it? karakteriseert hij een routineprobleem: er bestaat een cut-and-dried precept. Een kant-en-klaar voorschrift. Een machine kan het daarom ook.

Voordelen

Toch zouden we wel gek zijn als we nu geen gebruik maakten van onze goedwerkende formule. En waarom zou je dat nu nog zelf zonder rekenmachine moeten kunnen? Iemand moet die algoritmes natuurlijk wel maken, iemand moet die computers vertellen wat ze moeten doen. Maar zelfs zo iemand hoeft in dit geval niet te begrijpen waarom het werkt. Of toch wel? Misschien is al-Chwarizmi’s methode zo gek nog niet. Een kleine generalisatie:

abcgenera

Misschien zou het beter zijn om leerlingen dit kwadraat afsplitsen aan te leren… Dan is er in elk geval nog iets zichtbaar van het geheim… Het algoritme kan inzichtelijk gemaakt worden met oppervlakten, zoals in het voorbeeld van al-Chwarizmi. En je krijgt de negatieve wortels er gratis bij. Vervolgens kan het eventueel ook nog gebruikt worden in combinatie met complexe getallen.

Wat is nu het algoritme? Dat is de reeks instructies hierboven. Het werkt als je erin stopt wat je erin moet stoppen: drie getallen die de tweedegraadsvergelijking bepalen. De uitkomst volgt vanzelf.

Aan het definiëren van het begrip algoritme wordt nog heel wat tijd besteed. Een zeer ruime definitie: een reeks instructies. De invoer bij zo’n algoritme hoeft niet beperkt te blijven tot een reeks getallen.

Methode

In de tijd dat ik op de middelbare school zat bestond de grafische rekenmachine nog niet. Onze TI 25 kon wel rekenen, maar geen grafieken creëren. Wij moesten zelf functies onderzoeken en de bijbehorende grafieken tekenen. Onderzoek de functie en teken zijn grafiek luidde de standaardopdracht. Wat dat onderzoek moest inhouden stond precies vast:

IMG_8432

  • Het domein
  • De nulpunten en een tekenschema
  • Continuïteit
  • Differentieerbaarheid
  • Extreme waarden
  • Het gedrag aan de randen van het domein
  • Asymptoten
  • Het bereik

Enórm saai was dit niet: het succesvol afwerken van het lijstje gaf een zekere bevrediging, zij het van bescheiden aard. Ook kwam er iets tevoorschijn: de tekening van een grafiek waarvan je de vorm misschien nog niet had kunnen voorspellen. Langzamerhand ontstond er een beeld van de grafiek. Beheersing van de stappen gaf bovendien zekerheid. Het functieonderzoek is grotendeels uit de schoolwiskunde verdwenen,- zeker als expliciete opdracht. Maar het plotten van een grafiek op de grafische rekenmachine geeft nog minder bevrediging.

ti-nspire2-cas-so_hi-2Intussen bestaan ook grafische rekenmachines die algebraïsche expressies kunnen manipuleren. CAS (Computer Algebra System) heeft zijn intree gevonden in de rekenmachines. Voorlopig is het leerlingen nog verboden deze te gebruiken. Met deze rekenmachines kunnen bijvoorbeeld eenvoudige algebraïsche uitdrukkingen gemanipuleerd worden. Stop x3 – x2 – 8x +12 erin, stop x + 3 erin en hij geeft braaf als uitkomst: x2 – 4x + 4

Actieprogramma

Een algoritme is eigenlijk een vast actieprogramma. Biologen als Tinbergen en Lorenz onderzochten vaste actieprogramma’s bij dieren zoals de gans. Als het ei van een gans uit het nest rolt, brengt hij zijn snavel erachter en rolt het terug naar het nest. Als hij het ei onderweg verliest, maakt hij toch de beweging af. We zijn geneigd dat instinct te noemen en het niet al te slim te vinden. De flexibiliteit ontbreekt. (Maar hoe is deze handeling evolutionair tot stand gekomen?)

Het invullen van getalletjes in de ABC-formule is niet veel slimmer. Misschien zijn daarom veel van deze rekenmachines zwart…  want voor de meeste gebruikers blijft het natuurlijk een black box.

Wat willen we nu met die algoritmen? Het zelf uitvoeren van een algoritme is niet bijster spannend. De uitkomst ook niet. In veel gevallen kan een rekenmachine het ook – en sneller. En als een rekenmachine het nu nog niet kan, dan in de toekomst toch ongetwijfeld wel. Wat willen we dan wel? Beheersing van nuttige technieken? Structurering van kennis? Ontdekken van wiskundige waarheden?

Denken

Het denken moet bevorderd worden.  Het aanleren van algoritmen valt daar niet direct onder. Het zoeken naar algoritmen is al een niveau hoger: dan moet er nagedacht worden. Eigenlijk zou ‘denken’ een apart vak moeten zijn in het onderwijs. Edward de Bono heeft geprobeerd zoiets op scholen in te voeren en ergens in de rimboe van Venezuela deden ze er enthousiast aan mee. Maar voorlopig zijn wij nog niet zo ver. De voornaamste reden daarvoor is waarschijnlijk dat er geen enkele overeenstemming bestaat over wat ‘denken’ nu eigen inhoudt. Toch waren De Bono’s plannen niet zo gek en men moet ergens beginnen. Wiskunde als schoolvak leent zich misschien wel het beste om hiermee dan toch inderdaad zo’n begin te maken. De mogelijkheden zijn onbegrensd.

Het is duidelijk dat een eenvormige aanpak, met de garantie van een oplossing, zoals de ABC-formule, een stap verder in de ontwikkeling van de wiskunde is.  Ook duidelijk is dat het zoeken naar een eenvormige aanpak, dat in het geval van de ABC-formule vele eeuwen duurde, een zinvolle en nuttige wiskundige activiteit is. L.N. Landa was van mening dat dit zoeken naar algoritmes een van de belangrijkste taken van de wiskunde is. Daar hoeven we het niet meteen mee eens te zijn om het belang ervan te onderkennen. Het is niet de taak van de leraar alleen maar dit soort recepten aan de leerling voor te leggen. Interessanter en zinvoller is het, de leerling te laten zoeken naar een eenvormige aanpak. Natuurlijk moet de leerling daarbij een beetje geholpen worden.

Chaque problème que j’ai résolu est devenu une règle, qui a servi après à résoudre d’autres problèmes schreef Descartes al, in zijn Discours de la methode. Elk probleem dat ik heb opgelost, heb ik tot een regel gemaakt die daarna diende om andere problemen op te lossen. Dat bespaart tijd… We hoeven niet elke tweedegraadsvergelijking apart te onderzoeken. Ook hoeven we ze niet meer in verschillende klassen in te delen zoals al-Chwarizmi nog deed. Of allerlei klassen van vergelijkingen te onderscheiden, zoals Cardano in Ars Magna. Het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen is volledig geregeld, het probleem is klaar. We kunnen het gaan proberen met andere vergelijkingen, bijvoorbeeld derdegraads. Dat deed Cardano. En hij (of eigenlijk Scipio del Ferro) vond ook daarvoor een algoritme. De ABC-formule kon daarbij onderweg gebruikt worden.

Een algoritme is, in wiskundig opzicht, de afsluiting van de zoektocht naar een oplossing van een probleem. We kunnen aan de slag met nieuwe problemen en hebben onderweg een handig hulpmiddel, waarbij we precies weten wat we moeten doen, zonder na te denken en waarmee we een hele klasse van (vergelijkbare) problemen kunnen aanpakken – al zijn het dan in zekere zin geen problemen meer. Al verder denkend, kunnen we gebruik maken van de ontwikkelde bouwstenen.

We kunnen ons niet beperken tot het aanleren van algoritmes. Want dat levert gegarandeerd maar één resultaat op: het verliezen van elke vorm van begrip. We zullen de weg kwijtraken. Het aanleren van algoritmen, illustraties van de zin ervan, het zoeken naar nieuwe algoritmen, het aanbieden van heuristieken, het leren hanteren van heuristieken,- dat alles vormt een natuurlijk dynamisch proces. Elke stap heeft didactische waarde. En elke stap moet worden gemaakt in de ontwikkeling van kennis.

Alles?

Moeten we nu proberen uiteindelijk alles te algoritmiseren? Moeten we ernaar streven om de hele wiskunde in algoritmes te vatten? Of zelfs de hele wetenschap? Of moeten we nóg verder gaan? Leibniz, vertelt Russell, heeft zijn leven lang de hoop gekoesterd dat hij de een of andere vorm van gegeneraliseerde wiskunde zou ontdekken, die hij Characteristica Universalis noemde, met behulp waarvan het denken zou kunnen worden vervangen door berekeningen.

Als we daarover de beschikking hadden zouden we in staat zijn op het gebied van de metafysica en de ethiek te redeneren op een manier die overeenkomt met die van de meetkunde en de analyse.

De Characteristica Universalis moest ‘een soort algemene algebra zijn en moet de middelen verschaffen om te denken terwijl men rekent. Zo zou men in plaats van te discussiëren kunnen zeggen: “Laten wij rekenen.”’

Ook Descartes was op zoek naar een universele methode, de Mathesis Universalis. Aan de rekenkunde, de meetkunde, de muziek, de optica, zou deze universele mathesis ten grondslag liggen.

Een kind, bijvoorbeeld, dat heeft leren rekenen en dat een optelsom maakt volgens de regels, kan er zeker van zijn dat het over deze som alles weet wat het menselijk verstand ooit kan uitvinden.

Spinoza begon alvast zijn Ethica, zijn filosofie, te ontvouwen in een wiskundige vorm, met definities en bewijzen.

Men kan ook denken aan de demon van Laplace, de superintelligentie die de toekomst kan berekenen vanuit zijn volledige kennis van alle krachten die op de materie inwerken…

We kunnen de huidige toestand van het heelal beschouwen als het gevolg van het verleden en als de oorzaak van de toekomst. Als er een intelligentie zou zijn die, op een gegeven moment, alle krachten zou kennen die op de materie inwerken, alsook de exacte situatie van elk onderdeel van alle materie, dan zou deze alle bewegingen van de grootste hemellichamen tot het kleinste atoom kunnen omvatten en zou er niets meer onzeker zijn voor deze intelligentie; het verleden net als de toekomst worden voor hem zichtbaar gemaakt.

Het ultieme algoritme zou ons vertellen hoe de toekomst van de wereld eruit ziet. Stop de wereld erin, stop er een datum in en de uitvoer is de stand van zaken op die aangegeven toekomstige datum.

Willen we dat? Het denken vervangen door berekeningen? Alles algoritmiseren? De wiskunde, de wetenschap, alle mogelijke oplossingen voor mogelijke problemen? Misschien zouden we dat wel willen, want misschien zijn we gewoon lui. Helaas – of misschien niet: helaas – bestaat dat universele algoritme niet. En het kan ook niet bestaan… Van veel eenvoudige algoritmen kan al bewezen worden dat ze niet kunnen bestaan. Turing heeft ons geleerd wat een computer in principe kan berekenen. Godel heeft al in de jaren dertig van de vorige eeuw bewezen dat er altijd stellingen in de rekenkunde blijven waarvan de waarheid of onwaarheid niet bewezen kan worden. Althans niet in het gegeven geaxiomatiseerde systeem. En uitgebreidere systemen kampen met hetzelfde probleem. Of om een (nogal willekeurig) concreter voorbeeld te geven: Een stelling van Matiyasevich vertelt ons dat er al geen algemeen algoritme bestaat voor het oplossen van Diofantische vergelijkingen. Daarmee is Hilberts Tiende Probleem, dat hiervoor een algoritme vroeg, onoplosbaar verklaard. Er kan verder worden nagedacht…

Hebben we algoritmen toch nodig? Ja, want we willen praktische hulpmiddelen voor onderweg, op onze zoektocht naar kennis in een complexe wereld. We willen helder zien, goed waarnemen, problemen aanpakken, nadenken, onze kennis uitbreiden. We willen begrijpen. Tijd winnen om aan nieuwe problemen te besteden. Saaie berekeningen machinaal laten uitvoeren. En alleen dan blijven wij de meesters van de machines, de marionetten, de voor altijd gedachteloze golems.

zondag 8 april 2012